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关注学习过程,促进思维发展
例谈过程性原则在数学教学中的运用
作者:陶永发    文章来源:本站原创    点击数:4324    更新时间:2007/2/7    
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【关键词】:新课标,过程性原则,数学课堂教学。

【摘要】: ①展现概念的形成过程,②展现公式、结论的推导过程,③展现方法的思考和形成过程,④展现规律被揭示的过程,⑤展现问题被发现的过程。

数学教学过程中,学生是数学学习活动的主体,学生所学的数学知识是人类思维活动的结果。但是,在“再创造”过程中,需要教师在学生已有的认知水平和已有的知识经验的基础上,激发学生的学习热情,提供充分的数学活动的机会,巧妙的组织,恰当的引导,在和谐的,民主的气氛下开展教学活动,以缩短学生建构思维活动的成果的过程。在动手实践,自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,使人学到有价值的数学知识,不同的人在数学上得到不同的发展。

充分暴露思维过程的教学是数学教学的重要指导原则,简称为过程性原则。过程性原则在课堂教学中主要表现在:①展现概念的形成过程,②展现公式、结论的推导过程,③展现方法的思考和形成过程,④展现规律被揭示的过程,⑤展现问题被发现的过程。

新教材充分考虑过程性原则——内容的编排尽可能地展现知识的形成与应用过程,即以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,展开所要学习的数学主题。使学生在了解知识来龙去脉的基础上,理解并掌握相应的学习内容。思维教育是数学教学的核心。在数学教学中,要求学生通过自己的思维来学习,在自主探索与合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。这是基础教育首要的教学目的和要求,数学教育不可能也不需要把每一个学生都培养成数学家,其主要意义更在于,培养人的良好的思维习惯,形成良好的思维策略,增强人的反应能力。使人人学有价值的数学;人人都能获得必须的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。为此,数学教学不仅要促使学生学会模式的识别,更需要体验建立数学模型的一些必要的思维过程。然而,在实际教学中采取注入式和“题海”战术,或把数学思维活动仅仅看作形式逻辑思维,却恰恰表现为忽视或压抑学生的思维过程。因而在新课标的教学中,教师应当以过程性原则为依据,就具体内容创造性地进行教学程序设计,课堂上才能充分展现数学思维的过程,使学生在学习中不但知其然而且知其所以然,以最大限度地提高它们的积极性和参与热情,否则将仍会出现照本宣科的局面,穿新鞋走老路,有违新课改革的理念与宗旨。

数学教学过程中,学生是数学学习活动的主体,学生所学的数学知识是人类思维活动的结果。学生学习这些知识时,不是简单的吸收,而必须通过积极的思维活动,把数学知识通过“再创造”转化为自己的思维结果。并用自己的思维方式去重新创造有关的数学知识,发展成新的知识。但是,在“再创造”过程中,学生难以独立完成重现思维过程的任务,需要教师在学生已有的认知水平和已有的知识经验的基础上,激发学生的学习热情,提供充分的数学活动的机会,巧妙的组织,恰当的引导,以缩短学生建构思维活动的成果的过程。 数学教师是数学教学过程的组织者和积极参加者,他需要根据数学知识结构,重现知识获得的过程,即知识的发现过程,并根据学生的思维特点和水平,制定出学生学习的“序列”;他还需要指导、调控学生的思维活动,把静态的知识结论转化为动态的探索对象,从而让学生在亲身实践中获得知识与经验。在教学中不能只重视教师思维过程的展现而忽视学生思维过程的暴露,要把学习的主动权交给学生,教学生学会思考,提高思维能力。 一、展示概念的形成过程

概念的形成有着丰富的生活背景,生动的生活内涵,注重概念的形成过程,符合学生的认知规律。在教学中忽视概念的形成过程,把生动的形成过程变为简单的“条文加例题”,对概念的理解极为不利。注重了概念的形成过程可以完整的、本质的、内在的揭示概念的本质属性,使学生对理解概念具有思想的基础,同时培养了从具体到抽象的思维方法。新教材以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,展开所要学习的数学主题。便于在教学过程中暴露概念提出的背景,暴露其抽象、概括的过程,将浓缩了的知识充分稀释,让学生在思维上亲身经历一个由具体到抽象、由特殊到一般的认识过程。使学生在了解概念来龙去脉的基础上,理解并掌握相应的学习内容。

例如,“单项式”概念的教学,就应紧扣概念的产生、发展、形成和应用的有序思维过程来精心设计:

1、让学生解决下列问题:方便面每袋a元,9折优惠,可比克每袋b元,8折优惠,2种食品各买一袋共多少元?

2、一个长方形的长是宽的2倍,这个长方形的长是多少?面积是多少?

3、每位旅客可免费携带20kg的行李,超过部分每千克按飞机票价的15%付行李费,小明的爸爸携带了35kg的行李乘飞机,他的机票价是m元,需付多少元行李费?

4、在右图的环形花坛铺草坪,需要草皮多少平方米?

5、正方体的棱长为x,则它的体积为多少?A表示一个有理数,则它的相反数是多少?

(1)列出代数式。(2)说出所列的代数式的意义。(3)让学生观察所列的代数式包含哪些运算,有何运算特征。揭示各例的共同特性:含有“乘法”运算,表示“积”。(4)引导学生抽象、概括单项奖式概念。讲解“单独一个字母或数也是单项式”的补充规定。(5)判断下列代数式中哪些是单项式?a-2、 08a 、2ab+2bc+2ca、23、a3b、-x、 a;上述的环节中(1)~(4)所举的例子是为了获得单项式概念的本质,促使概念形成,所以教师要尽可能的降低干扰,使概念清楚体现,防止学生被细节迷惑。而当单项式概念建立起来后,又要让学生搞清它的外延,这时就要增大干扰,如步骤(5),使学生从较难的实例中分离出概念的本质,通过举例促使学生把抽象的定义与具体的实例有机的结合起来,从而消除歧义,克服片面性,从而加深对单项式概念的理解。

二、展示公式发现过程

数学教学内容中有许多公式,传统的公式教学只重视公式的强化记忆和反复的练习,注重熟能生巧,至于公式产生的背景,发现的过程教师不甚关心,学生知之甚少。数学课堂教学要作为一种活动过程来进行,必须自始至终要有让学生参与活动的机会,不断满足学生的探索欲望,并及时给学生创设问题情景,提供探索指导,使学生在探索新知识的过程中,经历与前人发现这些知识结论时大体相同的智力活动,真正使学生在长知识的同时又长了智慧。

在课堂教学中,初始问题的提出是思维活动的起点,它控制着整个思维的方向。例如在学习梯形的中位线定理时,我并没有安教材的顺序,而是利用课本例题重新创设了情境:在新课开始时首先向学生展示梯子模型(如图1)并提出

问题1  试猜想中间横格BB´与上下两个横格AA´、CC´的位置关系和数量关系。

学生通过直观的观察,容易想出位置关系是平行的,而数量关系则有不同的看法,这时与学生原有的认识发生了矛盾,激发了学生的兴趣。

在初始问题的激发下进行探索时,教师要设置层层障碍,引导学生从下同的角度大胆探索,激发学生思维的灵活性。

问题2  在平行四边形ABCD中,过AC的中点O任作一直线EF与AD、BC相交,交点分别为E、F。(如图2)

①OE与OF的大小关系怎样?为什么?

②取AB的中点M,连结MO,试说明MO与BC的位置关系与数量关系。

③探究梯形ABFE的中位线与两底AE、BF的位置与数量关系。

引导学生得出结论:梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

问题3  如图3如何把梯形ABCD的中位线MN转化为三角形的中位线?

由于问题2的启发,结合原有的认识,学生能意识到MN与以A、B为顶点另一顶点在直线BC上,从而得到“连结AN,并延长交BC的延长线于E的方法”(如图4)。

当学生“发现”论证的方法后,再引导学生反思论证的方法,发现转化思想起了重大作用,启发学生用这这种思想探究其它添加辅助线的方法从而得到多种添加辅助线的方法(如图5),思维的灵活性和创造性得到充分的发展。

在初步认识了梯形中位线的基础上,进行适度的变式训练,深化对梯形中位线的本质的认识。

问题4  如图6梯子各横木间互相平行,且A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,B1B2=B2B3=B3B4=B4B5,已知A1B1=58cm,A5B5=26cm,求横木A2B2、A3B3、A4B4、的长。若已知A1B1=48cm,A2B2=44cm呢?若知其中任意两横木的长呢?

问题5  梯形ABCD中(如图7),AD∥BC,AM=BM,M、N分别为AB、CD的中点,则MN与AD、BC存在怎样的数量关系?

学生通过上述问题的解决,不仅解决了本课开始的问题,再次尝试到成功的喜悦,而且还进一步深化了对定理的理解与认识,并运用运动的观点揭示了梯形中位线与三角形中位线之间的特殊与一般,量变与质变的关系,使学生能将新知纳入原有的知识结构中,从而建立新的知识体系。

三、展示规律探索过程

课堂教学是师生的双边活动,教师的“教”是为了激发学生的“学”。在教学过程中,我们应该根据教材的内在联系,利用学生已有的基础知识,引导学生主动参与探索新知识,发现新规律。让学生在解决问题的过程中“做数学”,学数学,增长知识,发展能力。

 如在教材中要求尝试用归纳法探求解决下面的问题:在平面内画50条直线,最多有几个交点?

我没有直接让学生去探索这个问题,而是创设更切合实际的教学情境,经历看一看,做一做,填一填,想一想的学习过程,培养学生的动手习惯,暴露学生的思维过程,促使观察能力、分析能力和归纳能力的形成。

问题1、用火柴棒按下图的方式搭三角形  
(2)填写下表:  (略) 
火柴根数
三角形的个数

问题2、若按下图方式摆放桌子和椅子,请回答下述问题:
  (1) 1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐     人,3张餐桌可坐      人。
  (2)  若按照上图的摆法继续摆放餐桌和椅子,完成下表:
桌子张数

  (3)照这样的规律搭下去,搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒?

问题3、如图:同样大小的正方形纸片拼成长方形,第100个长方形有多少个小正方形?

问题4、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案,则第n个图案需要用白色棋子    枚。(用含有n的代数式表示)

  问题1   学生甲观察:第一个图形3根柴,第二个图形2个三角形,比前面多一个三角形,增加了两根火柴,第三个图形3个三角形,比第二个图形又多了一个三角形,同样也增加了两根火柴,第四个图形同样的规律……,因此,把第一个图形的3根火柴看作1+2,则第二个图形火柴根数为1+2+2=1+2×2,第三个为1+2+2+2=1+2×3……,第n个为1+2+2+……+2=1+2×n=1+2n;

学生乙观察:每一个三角形需要3根火柴,而从第二个图形起,每添加一个三角形,都是借用了前面三角形的一根火柴,实际都是添加的2根,即第一图形为3根;第二个图形为3+3-1=3+1×(3-1)=3+1×2 ,第三个图形为3+3-1+3-1=3+2×(3-1)=3+2×2,第四个为3+3×(3-1)=3+3×2,……第n个为3+(n-1)×2=3+2(n-1);问题2是对问题1的重复,为了强化学生的做数学的意识,积累经验,同时用广度代替深度,使全体学生进一步熟悉找规律的方法,问题3、4通过变式训练,要放手给学生时间,让学生去思考;给学生空间,让学生去探究;给学生权力,让学生去创造。

通过学习,同学们是怎样寻找规律的呢?

从前面几个简单的图形入手考虑,寻找图形中的数量关系,探寻其中个数与图形序列号关系的规律,从而提出猜想,并进一步验证其正确性。也就是从特殊到一般数学思想方法,这种方法叫就归纳法。

下面我们探索书上提出来的问题:

题:在平面内画50条直线,最多有几个交点?

学生x:先画两条直线相交,交点是1个;

再在图上添加一条直线,与原两条直线最多增加2个点,为1+2个;

再在图上添加一条直线,与原三条直线最多增加3个点,为1+2+3个;

再在图上添加一条直线,与原四条直线最多增加4个点,为1+2+3+4个;

……

从而如果有n条直线,那么交点个数最多有1+2+3+4+5+……+(n-1)= 个;

所以当有50条直线相交时,交点最多有 个。

四、展示方法的思考过程

数学教师在传授知识与原理时注重暴露思维的过程,把如何提出问题、思考问题和解决问题的过程,提纲挈领地加以介绍,对学生领会思维方法很有好处。千万不要在数学教学中“重结果,轻过程”。必须看到,正确的思维方法必须通过学生自己的学习与实践才能真正掌握。教师应当在实践过程中去指导和帮助学生,并在学生发生错误的时候适当指出他思想方法上的问题而加以纠正。

许多教师急于代替学生思考,把一些计算或解题的方法和盘地教给学生,这种教学,学生吃的是现成饭,学得快,忘得也快,更谈不上自己去寻找方法。教学中教师作为平等中的首席在教学疑难处设问,在关键处启发,然后让学生动脑、动手寻找方法解决问题。

数学教学过程中,通过暴露教师和学生思维过程,克服思维定势,激发思维的创造性,找到解决问题的最佳方案,使学生不仅学到新知识,而且更重要的是培养他们的探索精神,并逐渐形成创新能力。

五、展示问题的发现过程

有位学者说过:提出问题比解决问题更重要,因为解决问题只是时间的问题。我们的学生往往的是重解决问题,轻问题的发现,问题的提出;我们的老师往往重解题的策略的研究,轻发现问题的探讨,有的老师对课堂教学中学生提出来的问题视而不见,不能面对,也是导致学生在学习中轻视问题发现,不敢提出问题,提不出问题的重要原因。我想我们的教学改革一个重要原因也缘于此。

在学习轴对称图形时,我和同学们一起做一剪纸:剪五角星。在甲同学的教导下同学们很快的剪出了各种各样的五角星,大的小的,胖的瘦的,同学们都非常兴奋,互相攀比谁剪的好看,这时一位学习成绩一般同学提出一个问题:

老师为什么我的五角星他们剪的“胖”,而他剪的五角星“瘦”呢?

这时同学们都静下来,沉思这一问题,有的同学开始重新剪五角星,实践着,讨论着……。

这时学生乙高兴地说:“老师我发现了问题,只要剪的角度小,五角星就胖,剪的角度大,五角星就瘦”。有几位同学也发现新大陆似的一起附和起来(如图1,∠OPA越大,五角星越瘦)。

就在我们为获得这一结论相互庆贺的时候,又一位同学举起了手:

老师,哪怎样就能剪出和五星红旗上一样的五角星呢?

我为同学能提出这样的问题非常高兴,就在立即表扬了他。我接着说:和五星红旗上一样的五角星是什么意思?

同学丙说:就是边BC与DE在同一条直线上。(如图2)。

对,同学们请帮助,这个问题如何解决呢?

……

通过展开的五角星,运用三角形的内角和定理,可得∠OPA=126。。

通过数学实践活动,学生动手动脑的同时,在活动中产生了问题,贴近学生生活,激发了学生学习的积极性,解决问题的主动性,思考问题的全面性和深刻性。

在教学过程中,教师对待学生的提问或回答应有正确的态度,应多给予学生成功的体验。教师与学生之间达成一种民主、平等、和谐的关系是问题意识产生的良好条件,而教师对待学生的提问与回答的正确态度更能强化学生的问题意识。教师应当做到:

(1)悦纳学生提出的问题,鼓励学生与教师就某一问题进行探讨。

(2)对学生提出的不明确的问题,应加以引导,帮助学生理清问题的思路,抓住关键处提问。

(3)对学生提问中出现的错误,教师不宜加以嘲笑,应肯定其大胆的行为,发现其闪光点。

(4)对于学生提出的不论简单的、复杂的,也不论重要的、次要的问题,教师都要及时作出回答,回答不了的,也应作出合理的说明。

(5)要面向全体学生,尤其要保护“学困生”可贵的问题意识。

综上所述,在新课标教学实践中,有效的数学学习活动不再是单纯的依赖模仿与记忆,动手实践,自主探索与合作交流是学生学习的主要方式。在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,教师在教学过程中,教师关注的是过程,要有意识的充分运用过程性原则,从而在“做数学”的过程中,培养学生优秀的思维品质,用数学知识解决实际问题的能力,使数学学之有用,学之能用。我们才能充分挖掘学生的创造潜力,同时参与这一活动的教师才能最终成为成功的组织者和指导者。

 

主要参考文献:

1、张乃达  《以问题为中心——数学教学设计》,《数学思维教育学》。 

2、李建才  《中学教师教学基本功讲座》首都师大出版

3、覃善群  《过程性原则在设计教学过程中的应用》《中学数学教学参考》

4、李军林  《初中数学概念的课堂教学探索》《中小学数学》(初中版)

5、聂文江,王定成   《谈梯形中位线的教学》《中小学数学》(初中版)
文章录入:Jim Zhang    责任编辑:张振中 
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