一元一次不等式与一元一次方程、一次函数

【教学内容】

义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级下册第七章第7节．

一、教学目标

【知识与技能】

通过具体实例，初步体会和掌握一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系．并能解答关于函数、不等式和方程间的综合性问题，渗透数形结合的数学思想．

【过程与方法】

通过探索一次函数、一元一次不等式、一元一次方程间的联系，进一步加深理解事物是普遍联系的思想内涵，并通过观察、分析、推断与实验等方法探究函数思想中的“变与不变”的思想意义．经历模型化的过程，学会运用比较、归纳、概括等方法对信息进行整理加工，进一步培养学生分析、解决问题和自主探索的能力．

【情感态度与价值观】

经历探索三个“一次”之间的内在联系的过程，感受知识之间的普遍联系，理解等与不等的辩证关系，更好地认识和掌握事物运动和变化的规律．

二、教学重点

应用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数解决问题．

三、教学难点

理解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系．

教学设计、课件、多媒体．

五、教学过程

㈠情境设计

某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定质量，那么需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数．

根据图象回答下列问题：

⑴求y与x之间的函数关系式；

⑵求旅客最多可免费携带行李的质量；

⑶旅客已买的行李票的费用不超过13元，求他携带的行李质量的范围．

【情境说明】本节课创设的情境是“旅客携带行李问题”，通过生活中的情境，激发学生的求知欲．根据题意，学生不难列出函数关系式；学生既可以利用函数图像解不等式或方程，又可以用不等式或方程研究函数问题，使学生初步体会不等式与方程、函数的内在联系．

【自主探索】

请画出函数y＝－3x＋12的图像，你能利用图像解决下列问题吗？试一试：

⑴不等式－3x＋12＞0的解集．

⑵如果y的值在－6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？

⑶你能用其他方法解决这个问题吗？

【设计说明】让学生自己动手，画出一次函数y＝－3x＋12的图像，从画图的过程中感受从左至右，直线是呈“下降”趋势的．－3x＋12＞0（函数值是正数），即函数的图像在x轴的上方，在这种情形下可以利用图像找出对应的自变量x的取值范围；再由图像找出函数值在－6~6之间的部分，对应地可以找出自变量x的取值范围．本题也可以利用解不等式组的方法求出x的取值范围．通过本题的解决，让学生进一步感受不等式与方程、函数的内在联系．

总结：方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围．

㈡例题设计

例1、一次函数y＝kx＋b与坐标轴两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），求不等式kx＋b＋3≤0的解集．

【设计说明】根据题意可以先求出k、b的值，再解不等式，这种解法偏繁；但大多数学生都是这样做的，老师引导：能否利用函数图像来解决呢？小组之间合作讨论得出方法：先由两点画出一次函数的图像，再求函数值小于或等于－3时对应的自变量x的取值范围．渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，加强同学之间合作学习的气氛．

例2、若函数y₁＝－x＋3，y₂＝3x－4，当x取何值时，y₁＜y₂？

【设计说明】根据题意可以解不等式－x＋3＜3x－4；也可以画出这两个一次函数的图像，利用图像求出当直线y₁在直线y₂下方时对应的自变量x的取值范围．进一步感受不等式与函数的内在联系．

例3、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（㎝）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：

⑴分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x的函数关系式；

【设计说明】通过生活中的情境，激发学生兴趣．根据题意，学生不难列出蜡烛燃烧时函数关系式；学生既可以利用函数图像解不等式或方程，又可以用不等式或方程研究函数问题，使学生深刻体会不等式与方程、函数的内在联系．

㈢练习设计

⒈已知函数y＝－2x＋8，当x        时，y＞4；当y        时，x≤－2．

⒉用画函数图象的方法解不等式：－x＋3＞3x－5．

⒊一次函数y＝－x＋2，y＝x＋b的图象交点在第一象限，求b的取值范围？

㈣拓展设计

阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①，观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组 的解，所以这个方程组的解为 ．

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．

回答下列问题：

⑴在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组 的解；

⑵在直角坐标系中，用阴影表示 所围成的区域．

【设计说明】让学生知道，一元一次不等式组和方程、一次函数也有密切的联系，能利用所学知道类比分析问题、解决问题．

㈤教学反思

☆我有哪些收获？○我还有哪些疑问？▲我还要如何努力？

方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围．

㈥作业设计

⒈已知一次函数y=－2x－3的函数值为－1≤y≤3，则x的取值范围为        ．

⒉若直线y=0.5x＋a与y=x－3相交于第三象限，则a的取值范围是__    __．

⒊已知直线y₁=－x－2与y₂=－3x＋4，当x       时，直线y₁在直线y₂的下方．

⒋已知二元一次方程x＋2y=－5，当x取什么值时，y的值是负数？是非负数？

⒌兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m．兄弟赛跑情况如图所示，根据图像回答下列问题：

⑴何时弟弟跑在哥哥前面？

⑵何时哥哥跑在弟弟前面？

⑶谁先跑过20m？谁先跑过100m？

【设计说明】巩固所学知识，掌握数形结合的思想，进一步理解一元一次不等式和方程、一次函数的内在联系，培养学生分析问题、解决问题的能力．

教后反思：

本节课是我校2006年3月20日对外公开课由作者主备的一节课。学生对于一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的知识并不陌生，但没有人会将这三者联系起来，在解决问题的过程中不能转换，通过解不等式能够解决的问题也从不去想还能利用函数图像也能解决。通过本节课的学习，使学生能充分认识到：方程是用来刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式是用来刻画现实世界数量之间的不等关系，函数则是刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围。

从课堂效果来看，还有一部分学生不会转换，如例1，学生还是用方程的思想先求出k、b的值，再解不等式求出x的取值范围。在这里，教师应该善于引导，同时加强同学之间的合作交流，在活动中、讨论中寻求解决问题的途径。对于拓展设计，要求偏高，部分学生不能接受，不能利用类比的方法解决问题，这也在情理之中。在以后的教学中我们应该加强这方面的渗透。

（获江苏省中小学教研室优秀教学成果评比三等奖）